1. Размерность диаграммы Юнга
Крюк клетки диаграммы Юнга — это сама клетка и клетки, находящиеся правее в той же строке и выше в том же столбце. Длина крюка — это количество клеток, из которых состоит крюк. Обратный крюк внешней угловой клетки — множество клеток диаграммы, расположенных в той же строке слева и в том же столбце снизу. На рис. 7 изображены крюк клетки длины 6 и обратный крюк внешней угловой клетки.
Размерность диаграммы Юнга — это количество путей из корня графа Юнга в данную диаграмму. Заметим, что размерность диаграммы Юнга также равна числу стандартных таблиц Юнга данной диаграммы, так как каждая таблица Юнга соответствует одному из возможных порядков добавления клеток, приводящих в данную диаграмму. На рис. 8 изображены первые 5 уровней графа Юнга и подписаны размерности диаграмм.
Размерность диаграммы Юнга \lambda_n может быть вычислена с помощью формулы крюков:
dim(\lambda_n)=\frac{n!}{\prod_{\left(i,j \in\lambda_n\right)}^{}h(i,j)},
где h(i, j) — длина крюка с вершиной в клетке (i, j), n – размер диаграммы. Например, размерность диаграммы размера 6, соответствующей разбиению (3, 2, 1), равна
dim(\lambda_6)=\frac{6!}{5*3*3*1*1*1}=\frac{720}{45}=16,
а размерность диаграммы размера 11, соответствующей разбиению (5, 3, 2, 1), уже равна 2310. Данные диаграммы с подписанными длинами крюков приведены на рис. 9.
