Таблица Юнга

1. Таблицы Юнга

Диаграмма Юнга размера n, клеткам которой поставлены в соответствие натуральные числа от 1 до n, возрастающие по строкам и столбцам, называется стандартной таблицей Юнга. На рис. 1 приведены три стандартные таблицы Юнга, соответствующие одной диаграмме, а всего таких таблиц для нее существует 2310.

Если значения в таблице возрастают по столбцам и не убывают по строкам, то таблица полустандартная. На рис. 2 изображена полустандартная таблица Юнга.

2. Градуированные графы

Градуированный граф — бесконечный ориентированный граф, обладающий градуировкой:

1. Все вершины представлены в виде объединения множеств, называющихся множеством уровней, где уровни
2. Из каждой вершины на уровне L выходит одно или более ребер, соединяющих ее с вершинами на уровне L+1.

Граф Юнга (диаграмма Браттели-Вершика) — это ориентированный градуированный граф, вершинами которого являются диаграммы Юнга. Каждая вершина графа принадлежит уровню , на котором находятся диаграммы размера n (состоящие из n клеток). Каждое ребро соединяет диаграмму i-го уровня с диаграммой i+1-ого уровня, получаемую добавлением к исходной диаграмме одной клетки. Корень графа Юнга — это его первый уровень, состоящий из диаграммы размера 1, то есть из одной клетки. На рис. 3 изображены первые 5 уровней двумерного графа Юнга.

N-мерные диаграммы Юнга, например, трехмерные, также могут быть вершинами градуированного графа. На рис. 4 изображены первые 5 уровней трехмерного графа Юнга.

Граф Шура — это подмножество графа Юнга, содержащее только строгие диаграммы. На рис. 5 приведены первые 6 уровней графа Шура.

3. Связь таблиц Юнга и путей на графе Юнга

Путь на графе — это последовательность вершин, в которой каждая вершина соединена со следующей ребром. Каждому пути на графе Юнга соответствует таблица Юнга: при каждом переходе по ребру к диаграмме добавляется одна клетка, клетки в таблице нумеруются в порядке добавления. На рис. 6 приведен пример пути на графе Юнга и соответствующие ему таблицы Юнга.